屈娜 李应岐 刘华

摘要：高等数学作为大一新生的一门基础理论课，对培养学生的创新能力具有重要的作用。本文以“泰勒公式”为例，探讨了在高等数学课堂教学中如何实施对学生创新能力的培养。

关键词：探究型教学；泰勒公式；教学设计

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）42-0197-02

一、引言

高等教育对培养高素质和高质量的创造型人才具有重要意义。而高等数学是作为理工科专业的一门重要的必修基础课程，由于其内容上的抽象性、严谨性、应用性以及整个框架的系统性等特点，是培养学生理性思维品格和思辨能力的重要载体，是开发学生潜在能动性和创造力的重要基础。泰勒公式是近似计算和理论分析中的一个重要内容，本文在该内容的教学过程中，采取了探究型教学方法，取得了良好的教学效果。

二、提出问题

高等数学研究的主要对象是函数，而要研究函数，首要的问题是解决函数值的计算。比如求y=sinx在x=1处的函数值。但sin1在我们解决实际问题中却并不可用，结合实际问题的需求，鼓励学生保持探索未知的积极性。

三、“泰勒公式”的教学实施

（一）探究1——寻求给定函数的近似公式

对于一般函数，为了便于数值计算和理论分析，希望用一些简单的函数来逼近它，即用简单函数作为给定函数的近似公式。什么样的函数可称为简单函数呢？通过学生的交流讨论分析，得到作为近似公式的函数为多项式函数。

将问题归结为：寻找多项式函数P（x），在给定点x邻域内，作为f（x）的近似函数。而近似会引起误差，将其记为r（x），自然希望r（x）尽可能的小。所以问题转化为：选择恰当的多项式函数P（x）来近似f（x），使r（x）尽可能小！借助于几何的直观性来分析。

通过观察以上结果发现：多项式函数P（x）与f（x）的近似程度，取决于它们在点x处的各阶导数值是否相同，引导学生做出猜测：

当P（x）=f（x），（k=0，1，2，…）时，

r（x）=f（x）-P（x）会比较小。

（二）探究2——满足上述条件的P（x）的存在性与唯一性

假定多项式函数P（x）如下：

P（x）=a+a（x-x）+a（x-x）+…+a（x-x）

其满足条件P（x）=f（x），（k=0，1，2，…），据此确定系数并讨论多项式的唯一性，得到如下多项式。

定义：将多项式

P（x）=f（x）+f（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x） ①

称为f（x）的n次泰勒多项式。1715年，法国数学家泰勒提出一个很好的创意：用该多项式函数来近似一些三角函数、指数函数等，我们称其为泰勒多项式。

（三）探究3——寻找误差估计式

用泰勒多项式来近似y=sinx，并借助于Matlab软件在几何上观察他们的逼近程度。随着多项式次数的增加，P（x）与y=sinx的逼近程度越来越好，但误差到底有多大呢？联系已知，注意到如果用一次泰勒多项式来近似f（x），实质上就是微分中的“以直代曲”，产生的误差是（x-x）的高阶无穷小。如果用P（x）来近似f（x），它产生的误差是否为（x-x）的高阶无穷小呢？通过分析证明，得到本次课的定理1。

定理1 设f（x）在x处具有直到n阶的导数，则存在唯一的n次多项式P（x），使得

f（x）=P（x）+r（x） ②

其中r（x）=o[（x-x）]，（x→x），称为peano型余项，P（x）即为泰勒多项式。

利用公式②，在x附近，用P（x）近似f（x）时，误差为（x-x）高阶的无穷小，精确度非常高，但是注意到误差仅为阶的估计，未给出准确的误差范围，我们能不能对误差做出定量的估计呢？先来分析r（x）的性质。由前面的讨论，r（x）满足以下三个条件：

各阶可导并且r（x）=0（k=0，1，2，…），r（x）=o（（x-x）），x→x

由條件r（x）=o[（x-x）]，（x→x）知道，它至少是（x-x）的同阶无穷小。因此，我们不妨来看看会是什么样的结果？分析两函数的性质，联系已知，启发学生回顾牵涉到两函数增量比的定理——柯西中值定理，通过理论证明得到定理2。

定理2 设f（x）在x的某邻域内具有直到n+1阶的导数，则对于任意的x∈（a，b），有唯一的n次多项式

P（x），使得

f（x）=P（x）+r（x） ③

其中rn（x）=（x-x）称为lagrange型余项，P（x）即为泰勒多项式，ξ介于x与x之间。

泰勒在1715年提出了用多项式函数近似一般函数的创意，虽然这个创意非常好，但是由于他没有给出这种近似的误差估计，所以很长一段时间并没有引起大家的注意。40年后，即到了1755年，由欧拉和拉格朗日应用于自己的工作之后，泰勒公式的重要性才被确认，而且拉格朗日给出了误差的精确估计式之后，在1772年将其称为泰勒中值定理。

四、小结

在泰勒公式的教学过程中，由教师提出问题，作为学生探究的出发点，逐步根据需要引入概念和定义，课堂气氛变得十分活跃，学生能够积极思考，参与到定理的探索、发现、证明过程中来，对培养学生的创新思维能力具有非常重要的意义。

参考文献：

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