牛玉俊

摘要：本文思考了如何在数学课程的教学过程中，提升学生的数学建模能力。分析了不同的数学课程中数学建模的关键问题，并提出了一般的解决方法。

关键词：常微分方程；数学建模；案例教学

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）51-0237-02

一、引言

数学往往通过反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式，不同的物理现象可以具有相同的數学模型，这一事实正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械等在现时已相当普遍。在自然科学和技术科学的其他领域中，例如化学、生物学、自动控制、电力技术等，都提出了大量的微分方程问题，因此，社会的生产实践是常微分方程理论取之不尽的基本源泉。此外，常微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的。它们往往互相联系、互相促进。例如，几何学、机械运动、电磁振荡就是常微分方程理论的丰富的源泉之一，常微分方程也是解决实际问题不可或缺的武器。

数学给人的第一感觉往往是高深莫测，离实际很遥远，而数学学习对于大多数人来说都不是一件容易的事情。但是数学归根结底是一种工具课程，是要作为一种解决生产生活和科学研究中问题的手段和工具。那些觉得数学枯燥无味，脱离现实的人一定是不会用数学作为工具，进行数学建模，分析问题解决问题的人。利用数学知识解决实际问题的第一步就是数学建模，通过合理的假设，对具体问题进行数学化的描述，找到其中的关系，建立数学模型，分析模型，解决实际问题。所以，利用数学知识解决实际问题的关键，是数学建模，如果会数学建模，就掌握了用数学知识解决实际问题的关键。每年的全国大学生数学建模竞赛和美国数学建模竞赛等国内外知名的综合性竞赛，学生的参与积极性都很高。如果在课堂上加强数学建模能力培养，就能提高学生的学习兴趣，提升教学效果，提高学生利用所学知识解决实际问题的能力。

二、思考及应对措施

在课堂中适当增加数学发展历史中的逸闻趣事，提高学生课堂中的兴趣及积极性。相对于枯燥的知识讲解及数学的计算证明过程，数学史具有更强地趣味性，显得更加轻松。但是需要注意的是，数学史只能作为调剂品，适当地进行穿插讲授，特别是在一些重要的定理、定义的产生过程中的数学大家的故事，在学生觉得枯燥的时候进行穿插讲解，可以解决数学课堂的枯燥问题，提升学生的学习积极性。

例如可以给学生讲解一些微分方程的来历，比如伯努利方程的由来及伯努利家族的彪炳史册的成绩[3，4]。也可以在讲授第六章非线性微分方程的过程中，给学生讲解前沿的非线性问题，比如非线性微分方程中的蝴蝶效应，分岔，分形等形象直观的现象。给学生展示非线性研究中常见的相图，分岔图，时间历程图，最大Lyapunov指数图等形象直观的教学科研方法，提升学生的学习积极性。但是，要注意课堂的主要任务及讲解这些数学轶事的目的。

我们也可以在课堂上，向学生详细讲授一个数学模型的建立过程，不能仅仅是只停留在解方程上，而要分析这个方程是怎么建立起来的，这对数学建模能力的提升具有极其重要的意义。例如考虑如下的几何问题。

而在不同的数学学科中，数学建模的核心也是不一样的。例如在微分方程的数学建模过程中，要着重分析瞬时变化率与各个变量之间的关系[5]，因为导数就是一种瞬时变化率。而概率论与数理统计数学建模思维的关键是找到随机量及随机量的各个级别的矩，并找到这些矩之间的关系。从上面的分析中可以知道，数学建模的关键是提炼数学模型，运用已有的数学知识，把复杂的研究问题转化为数学问题，经过合理的条件约化，去掉对问题不起关键作用的细枝末节，只留核心问题，建立起能够反映所研究问题的定量或者定性的数学表达式，这就是数学模型。在建模过程中[6]，要首先根据问题的特点，区分你所面对的问题是“必然类”还是“随机类”，是“突变类”还是“模糊类”，区分了类别之后，再选择用什么数学手段来解决问题。其次，抓住主要矛盾进行科学抽象，而抓住主要矛盾的关键是分清主次。一定要掌握两个基本原则：一是所建立的模型是可能给出近似解的；二是这个近似解的误差是在允许的范围内的。在求解数学模型之后，要返回原问题进行验证和修正，找出出现问题的原因，并进行模型评估与改进。

建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰地了解，如果求解力学问题就要对牛顿三大定律有清楚的认识，同时也需要有一定的数学知识。为了要建立起实际问题的数学模型，一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识，微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型，我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么，我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的，这时，我们得到的数学模型是有用的，否则，我们还应考虑其他一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。为了解决热电学问题，需要了解其中的一些基本规律，如下面将用到牛顿冷却定律，其内容为热量总是从物体中温度高的向温度低的物体传导；在一定温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例等。

总之，在学校转型为应用型本科高校的前提下，积极探索新背景下数学课程的教学改革及创新，是一件及其有意义的事情，也是值得我们进一步进行探讨的问题。

参考文献：

[1]和炳，乙了，廖建全，钟澎洪.以问题意识为导向的常微分方程教学实践[J].广西第二师范学院报，2018，（3）：18-20.

[2]李明伟.数学建模思想融入到常微分方程教学的探讨[J].高教学刊，2018，（1）：93-95.

[3]吴琼扬.常微分方程课程的教学改革与实践[J].当代教育实践与教学研究，2018，（4）：92-94.

[4]冯曼.二阶常微分方程的若干求解方法[J].阴山学刊，2018，（2）：108-110.

[5]周忠，周瑞芳.可视化方法在微分方程数值解教学中的应用[J].教育现代化，2018，（1）：105-107.

[6]姜启源，谢金星.数学建模案例精选[M].北京：高等教育出版社，2006.