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矩阵多项式的逆矩阵的计算

来源:教育教学论坛     2019-2-23 9:48:14      点击:

原子霞

摘要:从给定的矩阵等式,求相应的矩阵多项式的逆矩阵是线性代数教学中的一类重要问题。本文利用多项式的除法介绍求矩阵多项式的逆矩阵的一个简单计算方法,使得这类问题计算更容易。

关键词:矩阵多项式;逆矩阵;多项式除法

中图分类号:O151 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2018)52-0161-02

一、引言

矩阵的求逆运算是线性代数中的重点内容之一,矩阵多项式的逆矩阵是逆矩阵的最直接延伸。在线性代数中,经常会遇到求矩阵多项式的逆矩阵的问题:设A是一个n阶矩阵,f(x)是代数多项式,求矩阵A的多项式f(A)的逆矩阵。对这类问题,文献[1-2]中的方法主要是通过观察构造来求解。

例1 已知矩阵A满足A2-A-2E=O,证明矩阵B=A-E可逆并求其逆矩阵。

上面例题中证明和计算事实上是一个问题,只要从已知条件A2-A-2E=O中凑出(A-E)×?=E或者?×(A-E)=E即可。解答:由已知条件分解因式,得 A(A-E)=E,故矩阵A-E可逆,且(A-E)-1= A。

上面的方法通过对已知的矩阵方程进行因式分解,然后运用逆矩阵的定义求出因子,即矩阵B的逆。但并不是所有多项式都能快速容易地进行因式分解,上面例子中求矩阵多项式的逆矩阵的方法较烦琐且需要一定的运算技巧。为此,文献[3-6]利用多项式的性质给出了求多项式矩阵的逆矩阵的一些方法和计算公式,但技巧性强不易被初学者掌握。本文在改进前人结论的基础上,利用多项式的除法技巧,对此类问题给出一个简单易学的计算方法并举例说明其应用。

二、主要结果

定理1 设A为一个n阶矩阵,C为复数域,多项式f(x),g(x)∈C[x],deg(f(x))≥deg(g(x))≥1,f(A)=O.若存在多项式 (x)∈C[x]和非零常数c使得f(x)=g(x) (x)+c,則矩阵多项式g(A)可逆且

[g(A)]-1=- (A).

证明 根据多项式方程f(x)=g(x) (x)+c和f(A)=O,可得矩阵方程f(A)=g(A) (A)+cE,简单计算得到,g(A)可逆且[g(a)]-1=- (A).证毕.

三、举例应用

下面举例说明上面定理的应用。

例2 已知矩阵A满足A2+3A+2E=O,证明矩阵2A+E可逆,并求其逆矩阵。

分析 从条件A2+3A+2E=O因式分解凑出(2A+E)×?=E不容易。若令f(x)=x2+3x+2,g(x)=2x+1,则利用多项式除法有f(x)=g(x) x+ + .从而可以利用定理1中的结论对例2进行证明并求解。

证明:根据多项式方程f(x)=g(x) x+ + 和题中条件有O=f(A)=g(A) A+ E+ E,对上式移项,整理得到(2A+E)- A- E=E.从而矩阵2A+E可逆,且(2A+E)-1=- A- E.

四、推广讨论

定理1的条件要求deg(f(x))≥deg(g(x))≥1,如果遇到deg(f(x))

从上面的讨论可以看到,利用多项式除法来解决这类从给定的矩阵等式来求相应的矩阵多项式的逆矩阵的问题是很简单高效、容易掌握的。

参考文献:

[1]黄廷祝,成孝予.线性代数与空间解析几何[M].第4版.北京:高等教育出版社,2015.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.

[3]吴华安.矩阵多项式的逆矩阵的求法[J].大学数学,2004,(20):89-91.

[4]陈梅香,等.矩阵多项式与可逆矩阵的确定[J].北华大学学报:自然科学版,2013,(14):153-155.

[5]袁立,姜琴.一个矩阵多项式求逆问题的推广[J].四川文理学院学报,2013,(23):15-17.

[6]万波.巧用多项式的除法求矩阵多项式的逆矩阵[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2014,(31):21-23.


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