刊文精选

浅谈柯西对数学的贡献

来源:教育教学论坛     2019-3-14 20:40:43      点击:

营孟珊 王钥 韩树新 梁建英

摘要:本文采用文献研究法、描述性研究法等,先通过柯西的生平了解柯西。然后介绍柯西对微积分以及复分析的贡献,探究柯西对数学的贡献。

关键词:柯西;数学;微积分;复分析

中图分类号:G642.0 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2018)41-0200-02

一、引言

数学发展史中,柯西的身影遍布数学的各个领域。在科技不发达的18、19世纪,柯西带领大家走向分析严格化的世界,对复分析的建立功不可没。许多学者对柯西做了研究,如桂质亮[1]研究了柯西的生平事迹,得出柯西是一个毛糙、高产而杰出的数学家。李晓龙[2]得出虽然柯西一生中有一些缺点,但更要看到柯西对数学发展不可代替的地位。于金青[3],石丽仙[4]均探究柯西与早期复分析思想的关系,得出柯西一生对复分析思想起到重要作用,但仍有不足。张素亮[5]通过研究柯西的三本微积分著作,对柯西在微积分方面的贡献进行研究,总结了柯西微积分体系的三大特点。

本文通过研究柯西对数学的贡献,不仅有利于我们对课本知识的理解,也有助于我们建立正确的求知观。其独具一格的研究方法也对现在的数学教育有着一定参考价值。

二、柯西的生平

柯西于1789年8月21日诞生在巴黎的上层阶级家庭。父亲是古典文学硕士、律师,与法国大数学家拉格朗日和拉普拉斯(Laplacian)有着密切的关系。少年的柯西爱好数学,显示出非凡的数学天赋,受到两位数学家的欣赏。拉格朗日对柯西有着很大的期望,他多次在公开场合表达自己对柯西的喜爱。但拉格朗日向柯西的父亲建议要给柯西坚实的文学教育,使其爱好不会误入歧途,也不让柯西在结束基础教育前追求数学书籍。

学生时代的柯西十分优秀,尤其在数学方面更是表现突出,并在1810年顺利毕业。毕业后的柯西去瑟堡参加海港建设工作。年底,他被授予二级桥梁工程师,并得到上司的奖励。期间,柯西大部分空闲时间学习数学的各个分支,其中多面体是他当时研究的主要内容,这是拉格朗日的建议。在1811和1812年,柯西发表了两篇关于多面体的论文,这标志着柯西科学之旅的开始。1812年1月,柯西向巴黎科学院提交了论文,证明凸面多面体的刚性表面必须是刚性的。因此,柯西成为高科技协会的成员。

1812年底,因身体每况愈下,柯西回到巴黎,从事科学研究的“探索真理”。他在提交给法国研究所的文章中,不仅对错误理论进行了研究,而且对确定点的研究,标志着他建立复杂函数论的开始。1815年底,他获得了无限深层流体表面波渗透论文科学奖,并开始在综合工科学校讲授数学分析。期间柯西积极参加各种科学活动,独自编辑了许多数学刊物,写了大约100篇论文或注记。

1830年革命再次爆发。柯西是顽强固执的保王党人,激烈反对自由派。当奥尔良公爵—菲利普即位时,柯西受到了很大的刺激,甚至在校园中起义,率领民众战斗,反对宣誓效忠新国王,他认为宣誓就是背叛。而他的反对并没有起到作用甚至在起义中受到一些暴烈行为,柯西下决心离开法国。1830到1838年间,柯西奔波世界各地。他去过瑞士,试图筹建瑞士科学院,但并未成功。在这几年的颠簸中,柯西的研究放慢了进度,1838年底柯西重返巴黎。在信仰与追求中,颠簸了八年的柯西最终选择了坚持自己的理想。虽回到巴黎,但柯西仍不愿对新王宣誓效忠。1848年,宣誓制度取消,柯西才被委任为巴黎理学院数学天文学教授。不久,法国再次革命,新政权上位,要求公职人员宣誓效忠。柯西仍不宣誓,其工作再一次停止。拿破仑三世实在不能忽略柯西的优秀,批准他再次开课。直至1857年,柯西与世长辞。

柯西有着鲜明的开创性。柯西首次研究了常微分方程解的局部性态,抓住了基本概念使得分析严格化,首次研究有限群理论并得出许多重要结果。柯西还开创了复分析思想的新时代,柯西积分定理、留数理论等都对当时的复分析方面的研究起到奠基性的作用,甚至其影响到今时今日也不见衰减。

三、柯西对微积分的贡献

柯西对微积分的贡献不仅仅体现在分析的严格化,其成果间接影响了许多数学家的研究。首先,柯西通过变量的概念定义极限。虽然没给出的论证方法,而用文字表达,但在他的研究中,已经有了的雏形,这些在其《分析教程》中都有所体现。其次,柯西对函数及其连续性也有贡献,他定义的单、多元函数与现代定义的方法相似,这也证明了柯西思想的超前性。不仅如此,柯西还对函数的连续性进行了严格的定义,甚至给出了严格的证明。微积分里面的概念不再单独存在,而是以一种体系的形势存在。一些具有较强逻辑的定义定理及其证明甚至应用都被柯西“组装”了起来。这让后人对其研究成果的研读有着很大的便捷性。

柯西对微积分有非常大的贡献,比如柯西中值定理及其应用、级数的柯西收敛准则。微积分在实际生活中也有很强的应用,比如风险投资。许多经营者都是微积分“大师”,学好微积分是每个经营者、投资者的必备技能。怎样将微积分的抽象概念应用到现实生活中还需我们努力。

四、柯西对复分析思想的贡献

1814年柯西关于定积分的论文,这是他创建复变函数论的起点,文中他指出欧拉等人运用实过渡到虚的归纳法,就算使用时再小心,都会让证明过程有缺陷,而且他决定对建立实到虚的移植要使用足够严格的方式,这就是我们说的“柯西积分定理”。还有非常重要的柯西积分公式、柯西留数定理[6]。

五、展望

目前对柯西的研究仍需进行,柯西发表的文章等应被翻译成多个版本,以供大家阅读,不应只限于大学课本。而且课本内容也需进一步丰富,课本中与柯西有关的定理大部分集中在应用,我们应去挖掘它们的深层含义,让大家更好地接触柯西相关定理的研究过程,并尝试去发现新的观点。

参考文献:

[1]李曉龙.谈柯西对数学的贡献[J].河南科技,2013,11(6):277.

[2]杜质亮,赵东方.奥古斯丁·路易斯·柯西:杰出的数学家[J].华中师范大学学报:自然科学版,1989,23(4):597-602.

[3]于金青,王淑红,邓明立.柯西与早期复分析的发展[J].河北师范大学学报,2012,42(24):274-279.

[4]石丽仙.柯西复分析思想探究[D].临汾:山西师范大学,2013.

[5]张素亮.试论柯西的微积分思想[J].曲阜师范大学学报:自然科学版,1990,16(1):65-68.

[6]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2013.


本文版权归教育教学论坛杂志社及本文作者所有,未经同意,不得转载! ——《教育教学论坛》查稿电话:0311-85178286