摘要：首先，本文指出一般的排列组合是多组组合计数模式的特例；其次，在强调组合是有编号的分组模式的基础上，给出了利用多组组合模式计算部分无编号分组方式的公式。

关键词：排列组合；多组组合；顺序

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）38-0218-02

一、引言

排列和组合是两种最基本的计数模式，在初等数学和高等数学中均有涉及。一方面由于排列组合与现实生活联系紧密，成为了现代公民的重要基础知识；另一方面由于问题本身的抽象性和具体类型的繁杂性而提高了学习和掌握的门槛。本文在分析组合模式的基础上，试图以多组组合模式统一描述一些常见的排列组合计数模式，为繁杂的排列组合问题提供一个简化模式。首先指出一般的排列组合是多组组合计数模式的特例，其次在强调组合是有编号的分组模式的基础上，给出了利用多组组合模式计算部分无编号分组方式的公式。

二、组合和多组组合模式

首先需要指出的是，在按组合模式分组时，组内元素之间是不考虑顺序的，是不可辨识的，但在组与组之间却有着顺序。因此，在运用组合模式计数时包含了各组之间的顺序。

例1：A、B、C、D四人进行扑克牌双扣比赛，有多少种不同的分组方式？

也许有人认为：从4人中选两人成一对，剩下的两人为另一对即可，于是共有C =6种分组方式。但事实上一共只有如下3对分组方式：（1）AB，CD；（2）AC，BD；（3）AD，BC。出现这个错误的原因是组合计数模式考虑了组的编号，将“取出AB，留下CD”和“取出CD，留下AB”看作两种不同的分组方式，而这里不能计较组的编号，正确的计算方法应该是 × =3.有了关于组合的这个认识，我们就可以将组合模式推广到多个组的情形。

设要把n个不同元素分成m个不同组，使各组依次有n ，n ，…，n 个元素，其中n +n +…+n =n，则其分组的种数是C ？堞 （1）

公式（1）称为多组组合模式（multinomial combination）。

当m=2时，多项组合就是通常的组合模式。一般的多组组合也可以由通常的组合和分步计数的乘法原理得到：C =C ·C ·…·C （2）

例2：将6人分成3组，每组2人，分别从事3项不同的工作，求分配方式数。

解：先取出2人从事第一项工作，有C 种方式；再取出2人从事第二项工作，有C 种方式；剩下的2人从事第三项工作。按照乘法原理，一共有C C = · = =90种分配方式。

本例中三项工作是不同的，在它们之间存在着“顺序”或者叫做“编号”，所以适用于组合模式。在例1中，两个组之间没有顺序，故应消除组合模式中重复计算的分组数。

多组组合的一个典型应用就是由熟知的二项式定理类比得到多项式定理：（x +x +…+x ） = x x …x （3）

当m=2时，公式（3）就是二项式定理。

多项组合是一种相当广泛的计数模式，通常的排列和组合都可以看作其特例。

三、排列是特殊的多组组合

事实上，“从n个不同元素中任取r（≤n）个元素的排列”问题，可以看作将n个不同元素分为r+1个组，使得前r个组各有一个元素，而最后一个组有n-r个元素，于是套用多项组合模式，共有 = =P 种分法，即排列方式。这里r个元素之间的顺序变为组与组之间的顺序。

不尽相异元素的全排列问题：有n个元素，属于m個不同的类，同类元素之间不可辨识，各类元素分别有n ，n ，…，n 个，其中n +n +…+n =n，现在要把它们排成一列，则一共有 种不同排法。

例3：设有n个球，属于m个不同的类，同类球之间不可辨识，各类球分别有n ，n ，…，n 个，n +n +…+n =n，现要将这n个球装入N（n≤N）个不同的盒子，每个盒子中至多容放一球，则共有 种不同装法。

分析：由于每盒至多容放一球，总有N-n个盒子为空。设想有m+1类球，各类球分别有n ，n ，…，n ，N-n个，n +n +…+n +（N-n）=N，问题转换为N个不尽相异元素的全排列问题，故得结果。

四、多组组合模式的推广

一般而言，当分组个数多于2时，就可以考虑用多组组合模式来解决相应的计数问题。我们再次强调，多组组合计数中组内元素不可辨识，但各组是可以辨识的，相当于组有编号。如果问题中不计较组间的辨识性（如例1），就要消除多组组合模式中重复计数的分组数。

例4：把7个人分成3组，完成相同工作，其中一组3个人，另两组各2人，求分组方式数。

分析：各组完成同样的工作，这是一个不考虑编号的分组问题.但是因为3人组有别于其他两组，该组自带编号，另两组不可辨识.所以在按多组组合模式算出分组方式数之后，应除以2！，故共有 × =70种分组方式。

一般地，设有n个不同元素，要把它们分成m个无编号的组，使得其中的m 个组中的元素个数都是n 个，m 个组中的元素个数都是n 个，……，m 个组中的元素个数都是n 个，其中m +m +…+m =m，m n +m n +…+

m n =n

n ，n ，…，n 各不相同，则一共有 × （4）种不同分法。

当m =m =…=m =1时，m=k，此时公式（4）就是多组组合公式（1）.

参考文献：

[1]李凡长，康宇，童海峰，等.组合理论及其应用[M].北京：清华大学出版社，2005.

[2]魏立力，马江洪，颜荣芳.概率统计引论[M].北京：科学出版社，2012.