[出处] 教育教学论坛_2022年第21期

张序萍 郭秀荣 吕亚男

[关键词] 课程思政;线性代数;教材建设

[基金项目] 2020年度山东科技大学教育教学研究“群星计划”项目“新时代背景下融入思政教育的线性代数教材建设研究”（QX2020M85）;2018年度山东科技大学大学数学优秀教学团队（JXTD20180509）;2020年度山东科技大学思想政治教育研究课题“大学数学公共基础课课程思政建设研究”（SZJYY-20089）;2021年度山东科技大学在线课程建设项目“线性代数与空间解析几何”（ZXK2021094）

[作者简介] 张序萍（1970—），女，山东泰安人，硕士，山东科技大学公共课教学部副教授，主要从事优化理论与算法研究。

[中图分类号] G641 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）21-0177-04 [收稿日期] 2022-03-01

“线性代数”是高等院校非数学专业理工科和经济类专业必修的一门重要的基础课，在数学、物理学、技术及管理学科中有着广泛的应用，为“运筹学”“数据结构”“线性控制”等多门专业课程提供技术支撑。以往的“线性代数”教学中多以知识传授为中心，思想品德教育未得到足够重视，造成了一定程度的思教分离。通过“线性代数”课程思政改革，将课程教学与思想政治教育有机融合，建设相对完善的课程思政教学体系，全面贯彻全员、全程、全方位育人理念，回归和重塑高等教育教学“教书育人、立德树人”的教育理念，较好地实现课程教学与思想政治教育的同向同行。

邱伟光认为，课程思政建设重在坚持社会主义办学方向，落实立德树人的根本任务，确保育人工作贯穿教育的全过程[1]。其生成路径为：教师是关键，教材是基础，资源挖掘是先决条件，制度建设是保障。刘三明通过课程内容的起源与发展、数学家的故事、教学案例开展课程思政，同时结合教学内容对学生进行辩证唯物主义教育[2]。孙晓青、薛秋芳、秦新强提出了课程思政在“线性代数”课程中的四种实施方案：坚守定位、多元融合、科学精神、学以致用[3]。王洋、刘鹏飞等通过调查研究，指出国内《线性代数》教材建设重理论轻应用，重抽象轻背景，教材内容每年变化不大，跟不上时代的步伐，不利于学生自学[4]。郑文晶将美国著名数学教育家David C.Lay编著的《线性代数及其应用》与国内同类教材进行比较研究，发现美国教材应用性强，突出几何直观，教材题量大、类型多，数值计算不复杂，便于学生自主学习[5]。教材建设是思想政治建设之根本，大学数学课程思政尚在探索实践阶段，融入课程思政的《线性代数》教材并不多见。因此，立足于“线性代数”教学改革实践，挖掘课程中的思政元素，充分体现线性代数中的思想方法，建设相对完善的课程思政教学体系，出版既符合课程思政要求，又符合线性代数培养目标的新教材，以实现教书育人的目标。

一、“线性代数”的课程特点

“线性代数”课程内容包括基础理论和应用两部分。在基础理论中，以行列式和矩阵作为研究工具，研究核心则是代数角度的线性方程组和几何方向的向量组，通过向量组是其极大无关组的线性组合，解决了线性方程组解的结构;而在应用部分，则以线性方程组为工具，研究矩阵的相似对角化及二次型的标准化。虽然线性代数内容少、学时短，但《线性代数》教材更像压缩饼干，对于学生来说，内容抽象，不易理解，计算过程烦琐，计算结果往往也不知对错。“线性代数”课程具有以下特点。

一是概念多，联系紧密，相互渗透，且这种联系比较隐蔽，分散于各章节中。学习中要善于寻找新旧知识点之间的联系，将其进行对比，不断归纳与总结，以“旧”促“新”，既鞏固旧知识的记忆，又加深新知识的理解。

二是符号多，下标多，有时下标中还带有下标。学好线性代数，符号及其下标是必须要过的一关，要通过符号抽象概括的过程了解其背后代表的含义，在重复练习中不断熟练掌握。

三是有些运算性质与初等数学不同，甚至相悖。在初等数学中，数的乘法满足交换律、零因子律和消去律，而这些性质对于矩阵的乘法运算均不成立，因此，要学会分析矩阵乘法不满足交换律的原因及由此带来的影响。

四是相对于高数而言，线性代数部分内容对抽象思维能力与逻辑思维能力要求较高，如矩阵的秩、向量组的线性相关性、向量组的秩与向量空间等，这些概念比较抽象，需要从概念的由来、前后知识点的联系入手，向量组的有关概念需要将代数与几何相结合，才能逐步加深理解，掌握实质。

课程思政要充分了解学生的认知特点，把握其内在需求和思想意识，以线性代数中的思想方法为基础，充分体现线性代数简洁、抽象而严谨的特点，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及运算能力，提高学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为后继课程的学习打下必要的数学基础。

二、融入思想政治教育的《线性代数》教材的建设目标

把握“线性代数”的课程特点，基于课程的教学规律，充分挖掘线性代数在数学思想和方法上的辩证唯物主义世界观和方法论，梳理线性代数发展历史上的重大科学发现和科学理论，挖掘其体现的开拓进取的科学精神和家国情怀，构建融合课程思政的课程体系，同时编写出既符合人才培养目标，又适合课程需要且融入思想政治教育的教材，将知识传授与社会主义核心价值观相结合，最终达到提高课程教学质量及教学效果的目的。

出版融合课程思政的《线性代数》教材，重在培养学生理性、严谨的科学态度，塑造正确的世界观、人生观和价值观。通过数学思想和方法的分析与解读，让学生对事物、方法、规律有一种本质认识，培养学生辩证的唯物主义观;通过了解我国在数学领域的贡献和优势，增强学生的民族自豪感和文化自信。

三、“线性代数”课程思政体系的构建

基于线性代数的发展史、数学思想、常用方法和研究内容等方面的特色，将“线性代数”课程的思政元素概括为四大主题：家国情怀、辩证思维、科学精神与人文素养。从课程思政主题出发，挖掘思政元素，确定思想政治融入点，合理安排每一个思政元素融入的广度与深度，使思想政治教育润物细无声，将价值观培育和塑造“基因式”地植入“线性代数”课程中。

“线性代数”的教学内容包括行列式、矩阵、向量组与线性方程组、特征值与特征向量及二次型五章。

（一）第一章《行列式》

1.行列式的定义从二阶、三阶，推广到n阶，遵循了从感性到理性、从特殊到一般、从具体到抽象的逻辑认识过程，可以发展学生的观察能力，进而提高学生的抽象和逻辑思维能力。同时，定义中连加符号的使用，体现了数学符号的简洁之美。

2.行列式计算有定义法、三角化与降阶三种方法，依据行列式元素的不同特点，选择相应的计算方法，由此培养学生的科学应变能力，而且通过一题多解，培养学生坚韧不拔的刻苦钻研精神。

（二）第二章《矩阵》

1.在讲解矩阵的定义时，引导学生举例周围常见的数表，以母校建校历史上的重要时间节点为例，了解母校的建校历程，培养学生以校为家的爱校情怀。同样，以庆祝建党100周年为契机，将我党百年历史上的重要时间和重大历史事件点进行梳理，培养学生的爱国爱党之情。

2.数的乘法满足交换律、零因子率与消去律，而矩阵的乘法则不满足，这就相应地带来了一系列的“后遗症”，要想呈现与数的运算同样的效果，需要添加两矩阵可交换的条件。因此，知识的迁移是有条件的，不能想当然地将已有结论复制到新的知识中，需要本着实事求是的学习态度，才可以获得准确的认知。

3.采用伴随矩阵法求逆矩阵时，需要注意行列式与伴随矩阵的顺序、代数余子式的符号和转置，计算结果正确与否，可以通过与原矩阵相乘是否为单位矩阵进行检验。通过计算步骤的分析，让学生体会到严谨、仔细、精确的计算特色，从而培养学生理性、严谨的科学态度，提高计算的准确率。

4.从行阶梯形矩阵可以区分零行与非零行，行最简形矩阵则将首非零元及其所在列进行了简化，而标准形则实现了非零行的行数与非零列的列数的一致性。通过以上分析，引导学生明确每一次初等变换的目的，使学生从一个简单机械的计算器，转变为一个善于思考的学习者。同时我们从各阶段性产物中，非常清晰地明确矩阵的结构，达到了大道至简的效果，为第三章线性方程组的求解及向量组问题的讨论奠定了基础。

5.矩阵的秩包含两种情形，分别用“寿命”和“年龄”做类比，从而加深理解。2021年恰逢山东科技大学七秩华诞，其中的“秩”就是“十年”的意思，所以这样进行类比，也就存在其合理性。由此可以透过现象，把握概念的本质，透彻地理解概念的本意，为后面的应用打下了扎实的基础。

（三）第三章《线性方程组与向量组》

1.在消元法这一节中，首先通过分析《九章算术》方程一章中的例子，用分离系数法得出方程组的增广矩阵，然后用直除法求得线性方程组的解，这就是高斯消元法的雏形，由此让学生感受我国古人的智慧，坚定文化自信。

2.在向量组的线性组合这一节中，阐释国是家的线性组合，中华民族是由56个民族组成的命运共同体。习近平总书记强调，中华民族和各民族的关系，是一个大家庭和家庭成员的关系，各民族的关系是一个大家庭里不同成员的关系。促进各民族像石榴籽一样紧紧抱在一起，共同守卫祖国边疆、共同创造美好生活。这就更加坚定了学生坚持民族团结、实现中华民族伟大复兴的信心。

3.线性相关与线性无关是描述向量组线性相关性时的一对矛盾，它们相互对立，非此即彼;同时，线性相关与线性无关在局部与整体上是相互统一的;线性无关的向量组添加其线性组合组成的向量，则变为线性相关的向量组，而线性相关的向量组中也可以找到极大线性无关组，极大无关組与向量组等价，从而线性相关与线性无关可以相互转化，这正是线性相关与线性无关的对立统一。利用其对立性分析问题，用统一性解决问题。这一切都是唯物辩证法对立统一规律的具体体现，从而提高学生的辩证思维能力。

4.极大线性无关组与向量空间的基、解空间的基础解系虽然名称不同，但本质上都是相同的。解空间的通解是基础解系的所有线性组合，达到了利用有限把握无限的目的，再次见证了有限与无限的对立统一，可培养学生的唯物辩证思维能力。

5.向量组的线性表示可以转化为非齐次线性方程组求解，向量组的线性相关性与齐次线性方程组密切相关，解决问题的工具是矩阵行列式，所以向量组、线性方程组、矩阵与行列式是线性代数基础理论的四个重要组成部分，培养学生“四位一体”的策略思想，可以获知线性方程组和向量组的全貌，有效地解决相关问题。

（四）第四章《特征值与特征向量》

1.向量组的施密特正交化公式巧妙地利用了投影与正交投影，将公式的推导与几何意义相结合，实现了代数与几何的完美统一，堪称数学和谐之美。

2.求解矩阵的特征值与特征向量其实就是利用线性方程组研究矩阵的过程，矩阵的相似对角化就是发挥了相似变换不改变矩阵的特征值这一特性而形成的，相似对角化之后，方阵的幂及多项式的计算均得到简化，达到了化繁为简、以简驭繁的目的。

（五）第五章《二次型》

1.二次型与实对称矩阵建立了一一对应的关系之后，二次型化标准形的过程就是实对称矩阵正交相似对角化的过程，二次型的标准形不唯一，而规范性唯一。二次型的标准化与规范化将其简单化，便于把握本质特征，有利于正定性的讨论。从中体会线性代数处理问题的特色，善于透过现象把握本质，获得对于事物的正确认知。

2.矩陣的三种关系——等价、相似与合同，分别对应了三种变换——初等变换、相似变换与合同变换，等价关系下的不变量是秩，相似关系下的不变量是特征值，而合同关系下的不变量就是正负惯性指数。以上种种“变与不变”，相辅相成，是“形变质不变”，是形式和内容的和谐统一[6]。

四、融入课程思政的《线性代数》教材的编写

2017和2019年，山东科技大学基础课部的骨干教师编写并出版了《线性代数》教材的第一版和第二版，在泰安校区信息系、机电系、资土系、经管系各专业中使用，每年度使用学生1500名左右。对于这两版教材，我们自我评价为：它是专门为普通本科院校工科及经管专业而编写的，内容系统完整，章节编排合理，课时安排得当，利于开展课堂教学;理论逻辑性与实用性兼顾，深度适合本专科学生的学习;概念准确，语言简洁、直观，符号规范，数形结合，深入浅出，化难为易，便于学生的理解和接受;例题有代表性，课后习题分层设计，总复习题与期末考试和考研题型相匹配，便于学生系统复习，准备考试，题量适中，难度适宜，便于自主学习;课后配有软件实现，便于创新能力的培养。

2021年再版的第三版教材，适量增加了线性代数发展史的介绍，并用唯物辩证法的观点对一些重要概念进行了诠释。融入思政元素的内容，有的放在了章节的开篇，有的放在了概念或定理的后面，阐述了概念或定理的哲学意义，保持了原教材的知识体系和结构，对于课程思政融入《线性代数》教材，做了有益的尝试。教师普遍反映教学效果显著，学生亦觉得可读性强，有获得感，实现了知识传授和价值引领的有机统一。

2021年，“线性代数”与“空间解析几何”课程已经被山东科技大学批准为在线建设课程，融入思政元素的《线性代数》教材也入选煤炭高等教育“十四五”规划教材。今后，在建设在线课程的过程中，应不断丰富和完善“线性代数”课程的思政元素和教学设计，在第三版教材的基础上，不断深化，探索每个思政元素融入的深度和广度，编写出更高质量的《线性代数》教材。